从我第一次接触到线性代数这门课开始已经有四年时光了, 当然这并不是说我学了四年的线性代数. 2017年我来到阳澄湖专科学校(迫真)学习机械类专业, 在大一上学期时学了线性代数, 用的是学校自己编的教材, 先从解线性方程组引入, 接着讲行列式及其花式计算技巧, 然后做做矩阵乘法, 最后算算特征值. 这是很平凡的工科线性代数教材的编排, 对大一的不懂事的我的心灵造成了不小的冲击. 前两个月完全不知道学的是啥, 期中考试一举夺得55分.
后来在网上搜线性代数的公开课, 大名鼎鼎的麻省理工的18.06进入我的视线, 我开始装模作样的一边看视频一边记笔记, 上课的时候就坐在后排拿着ipad看Strang老爷爷的课. 一段时间以后, 我已经能满嘴 linear system, determinant, inverse, matrix multiplication, linear space, etc.了. 但是给我一个横竖斜着都是省略号的行列式展开一下? 我还是写不出来. 让我求个 4x4 矩阵的逆? 25%的概率能算对吧. 最后我还是老老实实做了学校印的线性代数习题册, 最后期末考的还行, 总评居然上了80.
但是这么学也太没劲了, 大一寒假我买了本机械工业出版社的<<线性代数极其应用>>, 也是一本比较有名的教材. 我只是大概翻了翻, 了解到线性代数在配平化学方程式, 基尔霍夫定律等等中的应用, 稍微激起了一点兴趣. 大一下学期课有些满, 线性代数也没再捡起来. 当时由于体育不及格失去了转专业的资格(其实当时就学了下Python, 估计也通不过计科院的考试), 就打算大二的时候转. 大一下学期的数学课主要是高数下和概率统计, 当时我已经系统性地使用英文教材了. 众所周知, 理工科的国外教材写的都比较啰嗦而又亲切, 或多或少让我对数学产生了些许兴趣, 便萌生了转数学专业的念头. 当时对数学专业的认识还停留在转CS方便(naive), 所以采取了雨露均沾的学习策略(CS和数学都沾点), 最后嘛两头都没学好.
大二上学期课特别少, 给予了我充分的自由时间. 我无意中发现了MITOCW, 即MIT的课程归档主页, 里面就有大名鼎鼎的18.06线性代数. 趁着时间充裕, 我便系统性地学了一遍18.06, 还花了600块买了本introduction to linear algebra. 当然, 这是一本完全适用于工科学生的教材, 并非采用definition-theorem-example的写法, 全书一个严格证明都没有, 我不知道该把这个归为优点还是缺点. Strang本身作为教授和大教育家, 他的这本书大大降低了非数学专业学生学习数学课程的门槛, 他能用完全初等的观点解释高观点的内容. 当然, 对数学专业来说, 这本书肯定是不够看的.
如今, 我将目光锁定在了 Linear Algebra Done Right 上. 其实这本书我大一就瞥过几眼了, 但没有深入读下去. 现在已是我来到新专业的第二个年头了, 第一年疯狂补了将近5个学期的课(绝不推荐这么干). 假期时我读了LADR一半的内容, 按照伯克利的 math 110 的作业题勾题目做, 每个定理都自己证一遍. 第三章线性映射非常精彩, 我的第一个关于LADR的视频叫作”线性映射与矩阵运算”, 取材于第三章, 将线性映射和矩阵加法, 乘法, 转置有关联的内容进行了整合, 于暑假录完. 现在我又决定把整本书给讲一遍, 以确保自己真的理解了定义和定理, 同时我会掺入个人的理解, 补充书上”as you should verify”的内容.
Linear algebra, linear 修饰 algebra. Algebra 由阿拉伯语音译而来, 原义为 “reunion of broken parts”, 破碎部分的重组, 我个人又补了后半句话, 重组破碎部分形成一个结构, “代数结构”. 给一个集合, 赋予一些运算, 同时这些运算又满足某些性质, 这个集合便具备了”代数结构”. 群是一个集合上定义了一个二元运算满足单位元和逆元存在, 结合律. 环是一个集合上定义了”加法”和”乘法”满足一些条件. 而向量空间应该是我们接触到的第一个抽象的代数结构, 初学者可能会被那8条性质吓到, 而为了考试又不得不开始痛苦的”背诵”. 而我们一开始归纳 $\mathbb{R}$ 中加法和乘法的性质(当作公理使用), 再引入复数, 最后推广到 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{C}^n,$ 作为向量空间的典型例子, 最后给出向量空间的定义. 向量空间到向量空间的映射便是线性代数研究的中心话题, 同构的概念和商空间的分类思想也第一次出现, 体现了代数学的基本思想方法, 为以后学习代数提供了大量的例子. 所以我认为抽象代数/近世代数其实应该拿线性代数作为先修课程, 而不是两手空空直接去学. LADR这本书正是以代数学的观点研究线性代数, 对以后学习代数大有裨益.
我的讲这本书的视频传在了B站上, 计划每章出一个视频, 每个视频中以section为单位分p. 由于我太菜了… 所以录的时候会有讲错的地方, 欢迎建议与交流讨论, 可以加我的QQ:812739486.
整个系列视频的介绍我单独写在了这篇博文里: MilK的线性代数讲解大纲