从单变量函数求导到映射的微分--质的飞跃

单变量函数, 即 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的导数由一个很简单的极限表达式定义:

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},$$

如果上面这个极限存在, 就称 $f$ 在 $x_0$ 可导, 把这个极限叫做 $f$ 在 $x_0$ 处的导数, 记作 $f’(x_0)$. 当 $f$ 在 $x_0$ 可导时(设 $f’(x_0) = A \in \mathbb{R}$), 仅仅把上面这个极限表达式作形式上的变换, 我们就能发现更有意义的事情:

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = A,$$

既然 $A$ 是一个固定的数, 我们把 $A$ 移到左边去, 得到

$$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)-Ah}{h} = 0,$$

看到比值形式的极限等于 $0,$ 由高阶无穷小的定义得

$$f(x_0+h)-f(x_0)-Ah = o(h)\quad (h \to 0),$$

注意写等价无穷小时必须指明极限过程. 把 $-Ah$ 移到右边,

$$f(x_0+h)-f(x_0) = Ah + o(h)\quad (h \to 0).$$

现在, 我们可以好好观察一下上面这个式子.