MilK的线性代数讲解大纲

在2020年暑假, 我开始了 Linear Algebra Done Right (线性代数应该这样学, 下称LADR, 就是那本行列式在最后一章讲的书) 讲解视频的筹备, 一开始只是希望通过自己讲一遍的形式检验是否真的理解概念. 国庆时我录完了第一章的内容, 效果大大超乎我的想象, 现在(2020/11/6)已经有7583播放, 347收藏. 最让我感动的是, 有一位小哥哥看得非常非常仔细, 后来我们在zoom上讨论了两个多小时, 答疑的过程中, 我试着将抽象的概念讲得通俗一些, 这样又再次加深了我对概念的理解.
现在, 我做视频的目的已经不仅仅在于”自己对着空气讲课”了, 我将会考虑到观众的需求, 将会花一些心思把抽象的东西讲得易于理解, 也将会学习一些教育学的方法论. 同时, 反馈也是必须的, B站的评论区就是最有用的建议收集板块, 在此对所有提出建议和将要提出建议的B站小伙伴们致以诚挚的感谢! 答疑和讨论也是非常必要的, 我和那位小哥哥讨论了一会之后, 我突然想到, 这么多非常有价值的问题, 为什么不录下来呢? 因此, 我的第一章答疑 & 讨论视频就此诞生. 希望以后能有更多小伙伴加入到讨论中来! 现在, 我的计划便是以LADR这本书为主线, 同时参考各个领域的教材, 并且增加应用场景(因为线性代数是一门应用性很强的学科). 下面, 我把计划中的视频讲解结构列出(以最终视频为准), 由于我的视频是整章整章的上传的, 所以每章内容只要点一下大标题的链接就可以看到, 同时我会将手写的notes放在每个section后面.

第一章 Vector Spaces 向量空间

本章介绍我们线性代数的”舞台” — 向量空间. 将一个抽象的代数结构放在一开始讲有一种代数教材的风格, 所以说这本书最好是二刷线性代数时看. 下面是视频分P目录以及笔记pdf:

1. 向量空间定义的动机: $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{C}^n$ Ch1_1A.pdf
2. 向量空间的定义 Ch1_1B.pdf
3. 子空间的定义, 子空间的和 Ch1_1C_subspace.pdf
4. 子空间的直和 Ch1_1C_DirectSum.pdf
5. 书后部分习题
6. 第一章答疑 & 讨论 (这是一个单独的视频)

第二章 Finite-Dimensional Vector Spaces 有限维向量空间

回忆一下第一章中的两个例子, $\mathbb{R}^3$ 和 $C[a, b]~([a, b]$上的连续函数全体组成的集合), 这两个集合都是向量空间, 但是我们直觉上就能感到, 这两个集合有着本质的区别: $\mathbb{R}^3$ 中的所有元素都能写成 $x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)$的形式, 而对所有的连续函数, 我们能把它们写成几个固定的连续函数的线性组合吗? 带着这样的问题, 本章将研究一种特殊的向量空间, 也是我们线性代数所研究的向量空间: 有限维向量空间. “Linear algebra focuses not on arbitrary vector spaces, but on finite-dimensional vector spaces.” 此外, 我们还会研究有限维向量空间的一个重要特征: 维数. 在第三章学习过同构后, 我们就会理解: 维数相同的向量空间都是”一模一样”的. 下面是视频分P目录以及笔记pdf:

1. 这一章要干啥?
2. 线性无关 (Linear Independence)
3. 基 (Bases)
4. 维数 (Dimension)

第三章 Linear Maps 线性映射 (非常精彩的一章!)

1. 这一章要干啥?
2. 线性映射构成的向量空间 (The Vector Space of Linear Maps)
3. 零空间和值域 (Null Spaces and Ranges)
4. 矩阵 (Matrices)
5. 可逆性与同构的向量空间 (Invertibility and Isomorphic Vector Spaces)
6. 向量空间的积与商 (Products and Quotient of Vector Spaces)
7. 对偶性 (Duality)
8. (番外) 线性映射观点下的矩阵运算 这是系列视频, 详见我的博文 用线性映射的观点理解矩阵运算

第四章 Polynomials 多项式

第五章 Eigen 特征值, 特征向量

1. 不变子空间 (Invariant Subspaces)
2. 特征向量和上三角矩阵 (Eigenvectors and Upper-Triangular Matrices)
3. 特征子空间和对角矩阵 (Eigenspaces and Diagonal Matrices)

第六章 Inner Product Spaces 内积空间

1. 内积与范数 (Innter Products and Norms)
2. 标准正交基 (Orthonormal Bases)
3. 正交补 (Orthogonal Complements)
4. Minimization Problems

第七章 Operators on Inner Product Spaces 内积空间上的算子

1. Self-Adjoint Operators
2. Normal Operators
3. The Spectral Theorem
4. Positive Operators and Isometries
5. Polar Decomposition
6. Singular Value Decomposition (SVD)
7. 应用场景: SVD

第八章 Operators on Complex Vector Spaces 复向量空间上的算子

1. Generalized Eigenvectors
2. Nilpotent Operators
3. Decomposition of an Operator
4. Caylay-Hamilton Theorem
5. The Minimal Polynomial
6. Jordan Form

第九章 Operators on Real Vector Spaces 实向量空间上的算子

第十章 Trace and Determinant 迹与行列式

1. Trace
2. Determinant