2020小结

1月新冠疫情爆发, 在家上学上了8个月, 于是到现在我在数科院(线下)只呆了两个学期. 大三下学期(=大一下学期)我把所有必修课都修完了, 数值分析由于老师比较善良拿了94, 泛函分析则翻车了, 因为基础实在是不够, 尤其是没有学过实变函数, 前3章还能弄懂, 第四章后面和第五章就完全不知所云了, 最后绩点也很难看. 不过我也因此认识了卫老师, 得到了她的点拨和帮助. 课真的不宜选太多, 学数学还是得踏实一点, 所有定理合上书都得完整地证出来, 这对我来说要花很多很多时间, 完全掌握一个定理可能要花我两三个小时, 所以课还是选的越少越好.
暑假主要学了点Fourier analysis, 录了Word Power Made Easy的第一部分(播放了意外地高, 现在已经2.6w了), 精读了一点Linear Algebra Done Right, 渐渐爱上这本书, 感叹于线性代数竟可以这种角度切入. LADR也于国庆节录完了第一章, 也收获不少好评, 甚至有一位AI从业者观众专门找我答疑讨论, 我也把讨论给录下来投稿了.

2020秋学期主要读Stein实分析前3章, 第一章卡了很久, 第二章Lebesgue积分却异常顺畅, 思路清晰. Egorov定理真有用! Riesz定理用 $L^1$ space 的完备性就可以直接得出. 作为(名义上的)大四学生, 高等代数I和解析几何这两门大一的课我是真的第一次上, 这在数科院恐怕没有先例吧… 解几实在是不想看, 每次作业都是抄的, 高代也就自己写写作业, 不额外花时间. 微分几何胡老师的讲课方式我很喜欢, 恰恰是我在录视频时努力做到的想方设法把别人讲懂的方式. 我们有地方不懂他就会再讲一遍, 从来不赶进度. 但是我考试算不对啊…期中就考了55, 哭了.

今年另一个惊喜是有女朋友了, 我就参加了一个社团见面会怎么就… 以后日语就可以让她教我了. 威斯康星麦迪逊的3+1+1项目也已提交申请, 希望明年能拿到offer. 还是很向往西方的教育模式, 我转专业之前自己跟着MITOCW, 在Youtube上看Lecture videos, 做他们的homework, 跟着solutions对答案, 一点一点培养了一些数学兴趣(我大学之前从未接触过任何课外数学, 没有任何竞赛经历, 甚至讨厌数学), 美国大学的课程资源真的救了我一把. 所以说, 很想亲身体验一把.

最后, 辅导员别催我毕业了, 学院数据关我啥事, 我不是天才, 我不想呆3个学期就毕业, 最基本的数学素养都没有得到保证.

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实变函数随记(一) 基本方法: truncation

引入

这一系列都是零零碎碎, 不成体系的想法, 所以起名”随记”.

在2020年11月11日这个特殊的日子里, 我被实变函数搞得焦头烂额, 例题思路理清之后合上书, 却连第一步都下不了笔. 这么一来二去之后, 我发现有一个东西时常在我眼前出现:

现在我们就来看看这神奇的一交. 回到标题, truncation这个词我是在Stein的 Real Analysis 中遇到的. 第31页定理4.1的证明第一句话便是: We begin first with a truncation. truncate意为”shorten the duration or extent of”, 中文可以粗略地想象成把什么东西切掉一块, 而我们这里的truncation就是把一个集合切掉一块. 为了更好体会truncation的内涵所在, 感兴趣的同学可以查阅Stein, Real Anlysis, P31, Theorem 4.1. 接下来我会列举一些运用truncation的例题和习题, 都来自于苏州大学实变函数课程所用教材.

具体应用

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曲线与曲面的微分几何 2020 Fall


用于归档苏州大学2020年秋学期的本科微分几何课程, 胡长青老师讲授. 胡老师的讲课风格我很喜欢, 循循善诱, 能确保大家都听懂, 板书完全可以出本书. 我的笔记也是基于胡老师的板书, 再添油加醋所形成, 都是瞎做的, 切勿当真. 前两章都是随堂直接在Surface上记的, 比较杂乱, 第三章开始我课上用A4纸记, 课后再整理到Surface上, 所以质量会比前两章高一些.

第一章 向量

Mid-term

不会吧不会吧, 不会真有数学系的看不出来完全平方, 不会解一元三次有理方程, 不会算 $u \sin(1+u)$ 的导数, 不会积双曲函数的吧.



第四章 活动标架与曲面基本公式

这一章学习了一套全新的记号.

尾声

2021/1/8 17:30考试结束, 最后放上一些复习时写的笔记, 谨留作纪念.

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MilK的线性代数讲解大纲

在2020年暑假, 我开始了 Linear Algebra Done Right (线性代数应该这样学, 下称LADR, 就是那本行列式在最后一章讲的书) 讲解视频的筹备, 一开始只是希望通过自己讲一遍的形式检验是否真的理解概念. 国庆时我录完了第一章的内容, 效果大大超乎我的想象, 现在(2020/11/6)已经有7583播放, 347收藏. 最让我感动的是, 有一位小哥哥看得非常非常仔细, 后来我们在zoom上讨论了两个多小时, 答疑的过程中, 我试着将抽象的概念讲得通俗一些, 这样又再次加深了我对概念的理解.
现在, 我做视频的目的已经不仅仅在于”自己对着空气讲课”了, 我将会考虑到观众的需求, 将会花一些心思把抽象的东西讲得易于理解, 也将会学习一些教育学的方法论. 同时, 反馈也是必须的, B站的评论区就是最有用的建议收集板块, 在此对所有提出建议和将要提出建议的B站小伙伴们致以诚挚的感谢! 答疑和讨论也是非常必要的, 我和那位小哥哥讨论了一会之后, 我突然想到, 这么多非常有价值的问题, 为什么不录下来呢? 因此, 我的第一章答疑 & 讨论视频就此诞生. 希望以后能有更多小伙伴加入到讨论中来! 现在, 我的计划便是以LADR这本书为主线, 同时参考各个领域的教材, 并且增加应用场景(因为线性代数是一门应用性很强的学科). 下面, 我把计划中的视频讲解结构列出(以最终视频为准), 由于我的视频是整章整章的上传的, 所以每章内容只要点一下大标题的链接就可以看到, 同时我会将手写的notes放在每个section后面.

第一章 Vector Spaces 向量空间

本章介绍我们线性代数的”舞台” — 向量空间. 将一个抽象的代数结构放在一开始讲有一种代数教材的风格, 所以说这本书最好是二刷线性代数时看. 下面是视频分P目录以及笔记pdf:

  1. 向量空间定义的动机: $\mathbb{R}^n$ 与 $\mathbb{C}^n$ Ch1_1A.pdf
  2. 向量空间的定义 Ch1_1B.pdf
  3. 子空间的定义, 子空间的和 Ch1_1C_subspace.pdf
  4. 子空间的直和 Ch1_1C_DirectSum.pdf
  5. 书后部分习题
  6. 第一章答疑 & 讨论 (这是一个单独的视频)

第二章 Finite-Dimensional Vector Spaces 有限维向量空间

回忆一下第一章中的两个例子, $\mathbb{R}^3$ 和 $C[a, b]~([a, b]$上的连续函数全体组成的集合), 这两个集合都是向量空间, 但是我们直觉上就能感到, 这两个集合有着本质的区别: $\mathbb{R}^3$ 中的所有元素都能写成 $x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)$的形式, 而对所有的连续函数, 我们能把它们写成几个固定的连续函数的线性组合吗? 带着这样的问题, 本章将研究一种特殊的向量空间, 也是我们线性代数所研究的向量空间: 有限维向量空间. “Linear algebra focuses not on arbitrary vector spaces, but on finite-dimensional vector spaces.” 此外, 我们还会研究有限维向量空间的一个重要特征: 维数. 在第三章学习过同构后, 我们就会理解: 维数相同的向量空间都是”一模一样”的. 下面是视频分P目录以及笔记pdf:

  1. 这一章要干啥?
  2. 线性无关 (Linear Independence)
  3. 基 (Bases)
  4. 维数 (Dimension)

第三章 Linear Maps 线性映射 (非常精彩的一章!)

  1. 这一章要干啥?
  2. 线性映射构成的向量空间 (The Vector Space of Linear Maps)
  3. 零空间和值域 (Null Spaces and Ranges)
  4. 矩阵 (Matrices)
  5. 可逆性与同构的向量空间 (Invertibility and Isomorphic Vector Spaces)
  6. 向量空间的积与商 (Products and Quotient of Vector Spaces)
  7. 对偶性 (Duality)
  8. (番外) 线性映射观点下的矩阵运算 这是系列视频, 详见我的博文 用线性映射的观点理解矩阵运算

第四章 Polynomials 多项式

第五章 Eigen 特征值, 特征向量

  1. 不变子空间 (Invariant Subspaces)
  2. 特征向量和上三角矩阵 (Eigenvectors and Upper-Triangular Matrices)
  3. 特征子空间和对角矩阵 (Eigenspaces and Diagonal Matrices)

第六章 Inner Product Spaces 内积空间

  1. 内积与范数 (Innter Products and Norms)
  2. 标准正交基 (Orthonormal Bases)
  3. 正交补 (Orthogonal Complements)
  4. Minimization Problems

第七章 Operators on Inner Product Spaces 内积空间上的算子

  1. Self-Adjoint Operators
  2. Normal Operators
  3. The Spectral Theorem
  4. Positive Operators and Isometries
  5. Polar Decomposition
  6. Singular Value Decomposition (SVD)
  7. 应用场景: SVD

第八章 Operators on Complex Vector Spaces 复向量空间上的算子

  1. Generalized Eigenvectors
  2. Nilpotent Operators
  3. Decomposition of an Operator
  4. Caylay-Hamilton Theorem
  5. The Minimal Polynomial
  6. Jordan Form

第九章 Operators on Real Vector Spaces 实向量空间上的算子

第十章 Trace and Determinant 迹与行列式

  1. Trace
  2. Determinant

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从单变量函数求导到映射的微分--质的飞跃

单变量函数, 即 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 的导数由一个很简单的极限表达式定义:

如果上面这个极限存在, 就称 $f$ 在 $x_0$ 可导, 把这个极限叫做 $f$ 在 $x_0$ 处的导数, 记作 $f’(x_0)$. 当 $f$ 在 $x_0$ 可导时(设 $f’(x_0) = A \in \mathbb{R}$), 仅仅把上面这个极限表达式作形式上的变换, 我们就能发现更有意义的事情:

既然 $A$ 是一个固定的数, 我们把 $A$ 移到左边去, 得到

看到比值形式的极限等于 $0,$ 由高阶无穷小的定义得

注意写等价无穷小时必须指明极限过程. 把 $-Ah$ 移到右边,

现在, 我们可以好好观察一下上面这个式子.

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线性代数到底该怎样学?

从我第一次接触到线性代数这门课开始已经有四年时光了, 当然这并不是说我学了四年的线性代数. 2017年我来到阳澄湖专科学校(迫真)学习机械类专业, 在大一上学期时学了线性代数, 用的是学校自己编的教材, 先从解线性方程组引入, 接着讲行列式及其花式计算技巧, 然后做做矩阵乘法, 最后算算特征值. 这是很平凡的工科线性代数教材的编排, 对大一的不懂事的我的心灵造成了不小的冲击. 前两个月完全不知道学的是啥, 期中考试一举夺得55分.
后来在网上搜线性代数的公开课, 大名鼎鼎的麻省理工的18.06进入我的视线, 我开始装模作样的一边看视频一边记笔记, 上课的时候就坐在后排拿着ipad看Strang老爷爷的课. 一段时间以后, 我已经能满嘴 linear system, determinant, inverse, matrix multiplication, linear space, etc.了. 但是给我一个横竖斜着都是省略号的行列式展开一下? 我还是写不出来. 让我求个 4x4 矩阵的逆? 25%的概率能算对吧. 最后我还是老老实实做了学校印的线性代数习题册, 最后期末考的还行, 总评居然上了80.
但是这么学也太没劲了, 大一寒假我买了本机械工业出版社的<<线性代数极其应用>>, 也是一本比较有名的教材. 我只是大概翻了翻, 了解到线性代数在配平化学方程式, 基尔霍夫定律等等中的应用, 稍微激起了一点兴趣. 大一下学期课有些满, 线性代数也没再捡起来. 当时由于体育不及格失去了转专业的资格(其实当时就学了下Python, 估计也通不过计科院的考试), 就打算大二的时候转. 大一下学期的数学课主要是高数下和概率统计, 当时我已经系统性地使用英文教材了. 众所周知, 理工科的国外教材写的都比较啰嗦而又亲切, 或多或少让我对数学产生了些许兴趣, 便萌生了转数学专业的念头. 当时对数学专业的认识还停留在转CS方便(naive), 所以采取了雨露均沾的学习策略(CS和数学都沾点), 最后嘛两头都没学好.
大二上学期课特别少, 给予了我充分的自由时间. 我无意中发现了MITOCW, 即MIT的课程归档主页, 里面就有大名鼎鼎的18.06线性代数. 趁着时间充裕, 我便系统性地学了一遍18.06, 还花了600块买了本introduction to linear algebra. 当然, 这是一本完全适用于工科学生的教材, 并非采用definition-theorem-example的写法, 全书一个严格证明都没有, 我不知道该把这个归为优点还是缺点. Strang本身作为教授和大教育家, 他的这本书大大降低了非数学专业学生学习数学课程的门槛, 他能用完全初等的观点解释高观点的内容. 当然, 对数学专业来说, 这本书肯定是不够看的.
如今, 我将目光锁定在了 Linear Algebra Done Right 上. 其实这本书我大一就瞥过几眼了, 但没有深入读下去. 现在已是我来到新专业的第二个年头了, 第一年疯狂补了将近5个学期的课(绝不推荐这么干). 假期时我读了LADR一半的内容, 按照伯克利的 math 110 的作业题勾题目做, 每个定理都自己证一遍. 第三章线性映射非常精彩, 我的第一个关于LADR的视频叫作”线性映射与矩阵运算”, 取材于第三章, 将线性映射和矩阵加法, 乘法, 转置有关联的内容进行了整合, 于暑假录完. 现在我又决定把整本书给讲一遍, 以确保自己真的理解了定义和定理, 同时我会掺入个人的理解, 补充书上”as you should verify”的内容.
Linear algebra, linear 修饰 algebra. Algebra 由阿拉伯语音译而来, 原义为 “reunion of broken parts”, 破碎部分的重组, 我个人又补了后半句话, 重组破碎部分形成一个结构, “代数结构”. 给一个集合, 赋予一些运算, 同时这些运算又满足某些性质, 这个集合便具备了”代数结构”. 群是一个集合上定义了一个二元运算满足单位元和逆元存在, 结合律. 环是一个集合上定义了”加法”和”乘法”满足一些条件. 而向量空间应该是我们接触到的第一个抽象的代数结构, 初学者可能会被那8条性质吓到, 而为了考试又不得不开始痛苦的”背诵”. 而我们一开始归纳 $\mathbb{R}$ 中加法和乘法的性质(当作公理使用), 再引入复数, 最后推广到 $\mathbb{R}^n$ 和 $\mathbb{C}^n,$ 作为向量空间的典型例子, 最后给出向量空间的定义. 向量空间到向量空间的映射便是线性代数研究的中心话题, 同构的概念和商空间的分类思想也第一次出现, 体现了代数学的基本思想方法, 为以后学习代数提供了大量的例子. 所以我认为抽象代数/近世代数其实应该拿线性代数作为先修课程, 而不是两手空空直接去学. LADR这本书正是以代数学的观点研究线性代数, 对以后学习代数大有裨益.
我的讲这本书的视频传在了B站上, 计划每章出一个视频, 每个视频中以section为单位分p. 由于我太菜了… 所以录的时候会有讲错的地方, 欢迎建议与交流讨论, 可以加我的QQ:812739486.
整个系列视频的介绍我单独写在了这篇博文里: MilK的线性代数讲解大纲

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一个画画dilettante的一些念想

不得不说我只有画画的时候精力才能长时间完全集中. 以后有时间的话会从人体结构, 光影等理论从头学起. 下面都是我瞎涂涂的东西, 基本上都是临摹的. (dilettante这个词以后会讲.)

这个是临摹的Hiten大佬的画, 也是最近的一次(可能一年多前了)认真画的.



这幅是大二下学期在材料力学教材第一页的白纸上画的, 不得不说这纸真薄…画的是游戏少女前线中的人物HK416, 指挥官有我就够了~

摘帽子版:

这是第一次在surface上用surface pen电子绘画的翻车现场, 画的是少女前线中的UMP45:

舰队collection(砍口垒)中的响号驱逐舰:

高二时画的F16, 直男最爱:

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    缺失模块。
    1、请确保node版本大于6.2
    2、在博客根目录（注意不是yilia根目录）执行以下命令：
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    3、在根目录_config.yml里添加配置： 

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我叫金典, 我真的叫金典. <br>是学生